אורי הרפז גדל בקיבוץ מרחביה ועשה את צעדיו המוסיקאליים הראשונים, תחילה בנגינת חלילית, פסנתר ואבוב.

​

בגיטרה החל לנגן רק מאוחר יותר בלחץ "החברה", שרצו לשיר מסביב למדורה. בנערותו שהה מספר שנים בברזיל עקב שליחות הוריו ושם ספג את המוזיקה המקומית והתאהב בה.

בצבא, שירת הרפז בלהקת פיקוד מרכז וכן בצוות הוואי של הצנחנים יחד עם זמרים כמו עוזי חיטמן ז"ל, דורית ראובני (לה הלחין את השיר "בית בקצה הקשת" בשנת 1993), ואחרים, ועם שחרורו בשנת 1975, הצטרף לאמן הקלרינט גיורא פיידמן בהופעותיו.  באחת מהופעות אלה צדה אותו עינו של יוסי חורי מ"צמד הפרברים" המקורי והשאר, כפי שנאמר – היסטוריה.

בשנת 1978 הוציאו הפרברים את האלבום "החולמים אחר השמש" ואחריו אלבומים נוספים: "פרברים טרופיקל" ו- "מוסיקה". באותה תקופה יצאו  הרפז וחורי גם בהפקה של הערוץ הראשון בשם "ארץ טרופית יפה"  יחד עם  יהודית רביץ, קורין אלאל, יוריק בן דוד וכמובן מתי כספי.
ההיכרות עם מתי כספי הולידה בהמשך לא רק חברות קרובה, אלא גם הפקות והתחברויות מוסיקאליות שונות ומוצלחות סביב מוזיקה ישראלית ולטינית. 
 

"צמד הפרברים" התחברו להפקות מוסיקאליות נוספות עם חוה אלברשטיין ("אני אשתגע"),  ועם הדודאים וחנן יובל (אחרי מותו של בני אמדרוסקי ז"ל), בהרכב המצליח "החברים של בני" הפעיל גם כיום אחרי יותר מאלף הופעות.
 

בשנת 1999 שיתף פעולה אורי הרפז עם דני רובס, דני ליטאני ויואל לרנר בהרכב "ארבע על ארבע", ומאוחר יותר ב- 2007, הוציא את השיר "ונאהב לתמיד" באוסף הכפול של "אן אם סי".

במופע מקורי ומרענן נוסף בשם "דורות", שיתף הרפז פעולה עם בתו הבכורה שני, ועם הזמר חנן יובל ובתו שירה משך מספר שנים עם שירים ועיבודים רעננים לשירים מהרפרטואר האישי של כל אחד מהם, וזאת עד לעזיבתה של שירה יובל לארה"ב.
 

אורי הרפז התפרסם במשך השנים בעיקר בזכות נגינתו על הגיטרה הקטנה REQUINTO במסגרת ההופעות ב"צמד הפרברים", גיטרה בעלת הצלילים הגבוהים וכן  בשל היותו מהיחידים בארץ אשר מנגן בווירטואוזיות על ה-קווקיניו . הוא נחשב כיום לאחד הגיטריסטים הטובים בארץ.
 

אורי הרפז פיתח במשך כל שנות הקריירה שלו רפרטואר עצמאי עשיר עמו הוא מצליח מאד באירועי שירה בציבור פרטיים ומשפחתיים, אירועים בעולם העסקי, בערבי שירה בציבור במועדוני זמר שונים, ובמגוון רחב של הופעות במסגרות נוספות.

בשנת 2015, זמן קצר לפני שהוגיע הרפז על פרישתו מ"צמד הפרברים" אחרי 37 שנות פעילות, הוא הוציא אלבום חדש, אינסטרומנטאלי, בו הוא מנגן מנגינות של נחום היימן בעיבודים מקוריים משלו על גיטרה. האלבום: "גיטרה היא לפעמים געגועים" - אורי הרפז מנגן נחום היימן, זכה להצלחה ולתגובות נלהבות, ונמכר מאז הוצאתו דרך החנות באתר זה במאות עותקים.

בעקבות האלבום משיריו של נחום היימן, יצא אורי הרפז גם במופע יחיד שכל כולו משיריו של נחצ'ה בשם "אורי הרפז שר ומנגן נחום היימן", ובמהלכו בין השאר, ניגן ב"חי" גם קטעים מתוך האלבום "גיטרה היא לפעמים געגועים". 

הרפז חבר גם לזמרת מהמזוהות ביותר עם נחום היימן ז"ל, חני ליבנה, למופע משותף משיריו בשם "שיר למענכם". השניים הוציאו כשנתיים אחרי החיבור הראשוני ביניהם את אלבום המופע - אורי הרפז וחני ליבנה - מתוך המופע שיר למענכם".
 
עוד חבר הרפז להרכב "שלושתנו", יחד עם חנן יובל ודורית ראובני, במופע שכולו מסע בין שירי הקריירות המשותפות של שלושתם, ובו הם מבצעים את מיטב להיטיהם במשך השנים.   
בין שאר ההפקות בהם מעורב הרפז ניתן עוד למצוא את המופע "רפסודיה בשניים" יחד עם האקורדיוניסט הוירטואוז יוסי גרושקה, מופע בו הם מבצעים יחדיו בין השאר קטעי נגינה לגיטרה ואקורדיון ושירים ישראליים ואחרים. 
גם במופע "פיאסטה ישראלית", משתפים פעולה הרפז וגרושקה ומצרפים אליהם את הזמרת הארגנטינית - ישראלית לילה מלקוס למופע שהוא כולו קצב של שירים ישראלים ולטיניים בעברית ובשפת המקור.  

בשנת 2022, אחרי ששותפו יוסי חורי החליט להפסיק להופיע, צירף אליו אורי הרפז זמר וגיטריסט צעיר בשם אלעד שטמר ויצא במופע בשם "שרים הפרברים" במטרה להמשיך ולשמר את שירי הצמד בביצועים מרעננים אך צמודים למקור, ביצועים מלאי הרמוניות ונוסטלגיה.